Затраченная мощность формула. Техническая механика

1.15.1. Работа силы на прямолинейном участке пути.

1.15.2. Работа переменной силы на криволинейном пути. Графическое изображение работы.

1.15.3. Теорема о работе равнодействующей.

1.15.4. Мощность. Коэффициент полезного действия.

1.15.5. Работа и мощность силы, приложенной к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

1.15.1. Пусть точка М тела, к которой приложена постоянная по модулю и по направлению сила , перемещается прямолинейно из положения М в положение М" (рис. 1.15.1.), причем угол между направлением силы и направлением перемещения точки равен , а путь, проходимый точкой,равен S.

Силу можно разложить на две составляющие: нормальную не совершающую работы, и касательную , модуль которой .

Так как работу совершает только вторая составляю­щая, то работа силы будет равна

Работа постоянной силы при прямолинейном перемеще­нии ее точки приложения равна произведению модуля силы на длину пути, пройденного ее точкой приложения, и на косинус уела между направлением силы и направлением движения ее точки приложения.

Работа силы есть скалярная величина, т. е. вполне определяется ее численным значением и знаком.

Из формулы (1.15.1.) видно, что

1) если , то (силы, направление которых составляет острый угол с направлением дви­жения их точки приложения, совершают положительную работу);

2) если , то (силы, направление которых составляет тупой угол с направлением движения их точки приложения, совершают отрицательную работу);

3) если или , то .

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принимается работа силы в 1 Н при перемещении ею тела на расстояние в 1 м в направлении действия силы. Эта единица называется джоулем (сокращенно-Дж).

Установленное в механике понятие работы (называемой иногда механической работой) возникло из повседневного опыта. Однако нужно заметить, что оно не всегда совпа­дает с тем, что понимают под работой с физиологической точки зрения. Так, человек, неподвижно держащий тяже­лый груз на вытянутых руках, не совершает, очевидно, никакой механической работы (S=0), в физиологической же точки зрения он совершает, конечно, определенную (при большом весе груза и весьма значительную) работу.

1.15.2. Пользуясь установленным в предыдущем пункте по­нятием работы постоянной силы на прямолинейном пути, перейдем к вычислению работы си­лы в самом общем случае.

Пусть точка приложения М переменной по модулю и по нап­равлению силы перемещается из положения Ав положение В, опи­сывая при этом некоторую криво­линейную траекторию (рис. 1.15.2.). Разобьем путь , пройден­ный точкой, на очень большое чис­ло nстоль малых участков, что без большой погрешности можно счи­тать каждый такой участок пря­молинейным, а силу, действующую на данном участке,- постоянной и по модулю, и по направлению. Обозначим через постоянные для данных участков пути значения модуля переменной силы , через - длины соответствующих (прямоли­нейных) участков пути и через -углы между соответствующими направлениями силы и ско­рости точки ее приложения.

Полная работа Апеременной силы на конечном пути АВ будет, очевидно, равна сумме работ на всех его отдель­ных участках:

Ясно, что чем на большее число участков n мы разобьем путь, пройденный точкой приложения переменной силы , тем точнее вычисляется работа этой силы на данном пути. В пределе, когда число участков nстанет бесконечно большим, длина каждого из них станет бесконечно малой величиной.

Работа силы на бесконечно малом перемещении ее точки приложения называется элементарной работой. Обозначая элементарную работу силы через и длину бесконечно малого элемента пути через dS ,будем иметь

. (1.15.2.)

Тогда работа на всём конечном пути

Работа переменной силы на конечном пути равна интегралу от элементарной работы данной силы, вычислен­ному в пределах изменения пути точки приложения силы.

Сейчас же, заметив, что вычисление данного интеграла во многих случаях представляет значительные трудности, перейдем к более простому и часто применяемому в тех­нике графическому способу вычисления работы перемен­ной силы.

Пусть точка М приложения переменной по модулю и по направлению силы перемещается из положения в положение , которые определяются на ее траектории соответствующими расстояниями и отсчитываемыми от некоторого начала О (рис. 1.15.3.).

Возьмем прямоугольную систему координат (рис. 1.15.3.) и в выбранных масштабах будем откладывать: по оси абсцисс расстояние s точки от начала отсчета, а по оси ординат-соответствующую величину проекции силы на направление скорости точки М ее приложения, т. е. алгеб­раическое значение касательной составляющей данной силы .

Соединяя точки с данными координатами s и F t непре­рывной кривой, получим график зависимости .

Работа силы на ее пути S будет изображаться в соответствующем масштабе площадью фигуры (рис. 1.15.3.), ограниченной осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, соответствующими начальному и ко­нечному положению точки приложения силы .

При вычислении работы силы графическим способом нужно, конечно, учитывать масштабы, в которых откла­дывались на графике расстояния s и соответ­ствующие им значения модуля силы F t.

1.15.3. Теорема. Работа равнодействующей нескольких сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же пути:

где = - равнодействующая сил .

1.15.4. Мощностью силы называется величина, характеризующая быстроту, с которой этой силой совершается работа в данный момент времени.

Средняя мощность силы за некоторый промежуток времени t равна отношению совершённой ею за это время работы А к данному промежутку времени:

Мощность Р силы в данный момент времени t равна отношению элементарной работы dА силы за бесконечно малый промежуток времени, начинающийся в момент t, к величине dt этого промежутка времени:

В СИ за единицу мощности принимается мощность, при которой работа в 1 джоуль совершается в 1 секунду. Эта единица мощности называется ваттом (сокра­щенно-Вт)

1 Вт=1 Дж/с.

Формуле (1.15.4.) мощности в данный момент можно при­дать другой вид, если подставить в нее установленное ранее [формула (1.15.2.)]выражение элементарной работы:

Мощность силы в данный момент равна произведению соот­ветствующих этому моменту времени модуля данной силы, модуля скорости точки ее приложения и косинуса угла между направлениями силы и скорости точки ее прило-окения.

При работе любой машины часть потребляемой ею мощ­ности тратится не на совершение полезной работы, а на преодоление так называемых вредных сопротивлений, не­избежно возникающих при работе машины. Так, например, мощность, потребляемая токарным станком, тратится не только на совершение полезной работы-снятие стружки, но и на преодоление трения в движущихся частях машин и сопротивления их движению со стороны воздуха.

Отношение полезной мощности Р П машины к потреб­ляемой ею мощности Р или отношение полезной работы за некоторый определенный промежуток времени ко всей затраченной работе А за тот же промежуток вре­мени называется механическим коэффициентом полезного действия.

Обозначая, как это обычно принято, коэффициент по­лезного действия (сокращенно КПД) греческой буквой (эта), будем иметь

КПД является одной из важнейших характеристик машины, показывающей, насколько рационально исполь­зуется потребляемая ею мощность.

Полностью вредные сопротивления никогда не могут быть устранены, и потому КПД всегда меньше единицы.

1.15.5. Пусть в некоторой точке М твердого тела, вращающе­гося вокруг неподвижной оси z (рис. 1.15.4.), приложена сила . Разложим эту силу на две взаимно перпендику­лярные составляющие: , лежащую в плоскости П, пер­пендикулярной к оси z вращения тела, и , перпенди­кулярную к этой плоскости, т. е. параллельную оси z

Мощность Р силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента этой силы на угловую скорость тела.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется элементарной работой силы?

2. Дайте определение работы силы на конечном отрезке пути.

3. Сформулируйте теорему о работе равнодействубщей системы сил.

4. Как вычисляется работа постоянного вектора силы на прямолинейном отрезке пути?

5. Дайте определение мощности силы.

6. Что называется КПД?

7. Как вычисляется работа и мощность силы, приложенной к телу, имеющему ось вращения?

Мощность по своей сути является скоростью выполнения работы. Чем больше мощность совершаемой работы, тем больше работы выполняется за единицу времени.

Среднее значение мощности - это работа, выполненная за единицу времени.

Величина мощности прямо пропорциональна величине совершённой работы \(A\) и обратно пропорциональна времени \(t\) , за которое работа была совершена.

Мощность \(N \) определяют по формуле:

Единицей измерения мощности в системе \(СИ\) является \(Ватт\) (русское обозначение - \(Вт\), международное - \(W\)).

Для определения мощности двигателя автомобилей и других транспортных средств используют исторически более древнюю единицу измерения - лошадиная сила (л.с.), 1 л.с. = 736 Вт.

Пример:

Мощность двигателя автомобиля равна примерно \(90 л.с. = 66240 Вт\).

Мощность автомобиля или другого транспортного средства можно рассчитать, если известна сила тяги автомобиля \(F\) и скорость его движения (v) .

Эту формулу получают, преобразуя основную формулу определения мощности.

Ни одно устройство не способно использовать \(100\) % от начально подведённой к нему энергии на совершение полезной работы. Поэтому важной характеристикой любого устройства является не только мощность, но и коэффициент полезного действия , который показывает, насколько эффективно используется энергия, подведённая к устройству.

Пример:

Для того чтобы автомобиль двигался, должны вращаться колёса. А для того чтобы вращались колёса, двигатель должен приводить в движение кривошипно-шатунный механизм (механизм, который возвратно-поступательное движение поршня двигателя преобразует во вращательное движение колёс). При этом приводятся во вращение шестерни и большая часть энергии выделяется в виде тепла в окружающее пространство, в результате чего происходит потеря подводимой энергии. Коэффициент полезного действия двигателя автомобиля находится в пределах \(40 - 45\) %. Таким образом, получается, что только около \(40\) % от всего бензина, которым заправляют автомобиль, идёт на совершение необходимой нам полезной работы - перемещение автомобиля.

Если мы заправим в бак автомобиля \(20\) литров бензина, тогда только \(8\) литров будут расходоваться на перемещение автомобиля, а \(12\) литров сгорят без совершения полезной работы.

Коэффициент полезного действия обозначается буквой греческого алфавита \(«эта»\) η , он является отношением полезной мощности \(N\) к полной или общей мощности N полная.

Для его определения используют формулу: η = N N полная. Поскольку по определению коэффициент полезного действия является отношением мощностей, единицы измерения он не имеет.

Часто его выражают в процентах. Если коэффициент полезного действия выражают в процентах, тогда используют формулу: η = N N полная ⋅ 100 % .

Как известно, на данный момент еще не созданы такие механизмы, которые бы до конца превращали один вид энергии в другой. В процессе работы любой рукотворный прибор расходует часть энергии на сопротивление сил либо же впустую ее рассеивает в окружающую среду. То же самое происходит и в замкнутой электроцепи. Когда заряды протекают по проводникам, осуществляется сопротивление полной и полезной нагрузки работы электричества. Чтобы сопоставить их соотношения, потребуется произвести коэффициент полезного действия (КПД).

Для чего нужен расчет КПД

Коэффициент полезного действия электрической цепи – это отношение полезного тепла к полному.

Для ясности приведем пример. При нахождении КПД двигателя можно определить, оправдывает ли его основная функция работы затраты потребляемого электричества. То есть его расчет даст ясную картину, насколько хорошо устройство преобразовывает получаемую энергию.

Обратите внимание! Как правило, коэффициент полезного действия не имеет величины, а представляет собой процентное соотношение либо числовой эквивалент от 0 до 1.

КПД находят по общей формуле вычисления, для всех устройств в целом. Но чтобы получить его результат в электрической цепи, вначале потребуется найти силу электричества.

Нахождения тока в полной цепи

По физике известно, что любой генератор тока имеет свое сопротивление, которое еще принято называть внутренняя мощность. Помимо этого значения, источник электричества также имеет свою силу.

Дадим значения каждому элементу цепи:

• сопротивление – r;
• сила тока – Е;

Итак, чтобы найти силу тока, обозначение которого будет – I, и напряжение на резисторе – U, потребуется время – t, с прохождением заряда q = lt.

В связи с тем, что сила электричества постоянна, работа генератора целиком преобразуется в тепло, выделяемое на R и r. Такое количество можно рассчитать по закону Джоуля-Ленца:

Q = I2 + I2 rt = I2 (R + r) t.

Затем приравниваются правые части формулы:

EIt = I2 (R + r) t.

Осуществив сокращение, получается расчет:

Произведя у формулы перестановку, в итоге получается:

Данное итоговое значение будет являться электрической силой в данном устройстве.

Произведя таким образом предварительный расчет, теперь можно определить КПД.

Расчет КПД электрической цепи

Мощность, получаемая от источника тока, называется потребляемой, определение ее записывается – P1. Если эта физическая величина переходит от генератора в полную цепь, она считается полезной и записывается – Р2.

Чтобы определить КПД цепи, необходимо вспомнить закон сохранения энергии. В соответствии с ним, мощность приемника Р2 будет всегда меньше потребляемой мощности Р1. Это объясняется тем, что в процессе работы в приемнике всегда происходит неизбежная пустая трата преобразуемой энергии, которая расходуется на нагревание проводов, их оболочки, вихревых токов и т.д.

Чтобы найти оценку свойств превращения энергии, необходим КПД, который будет равен отношению мощностей Р2 и Р1.

Итак, зная все значения показателей, составляющих электроцепи, находим ее полезную и полную работу:

• А полезная. = qU = IUt =I2Rt;
• А полная = qE = IEt = I2(R+r)t.

В соответствии этих значений, найдем мощности источника тока:

• Р2 = А полезная /t = IU = I2 R;
• P1 = А полная /t = IE = I2 (R + r).

Произведя все действия, получаем формулу КПД:

n = А полезная / А полная = Р2 / P1 =U / E = R / (R +r).

У этой формулы получается, что R выше бесконечности, а n выше 1, но при всем этом ток в цепи остается в низком положении, и его полезная мощность мала.

Каждый желает найти КПД повышенного значения. Для этого необходимо найти условия, при которых P2 будет максимален. Оптимальные значения будут:

• P2 = I2 R = (E / R + r)2 R;
• dP2 / dR = (E2 (R + r)2 — 2 (r + R) E2 R) / (R + r)4 = 0;
• E2 ((R + r) -2R) = 0.

В данном выражении Е и (R + r) не равны 0, следовательно, ему равно выражение в скобках, то есть (r = R). Тогда получается, что мощность имеет максимальное значение, а коэффициент полезного действия = 50 %.

Как видно, найти коэффициент полезного действия электрической цепи можно самостоятельно, не прибегая к услугам специалиста. Главное –соблюдать последовательность в расчетах и не выходить за рамки приведенных формул.

Видео

Теоретическая механика:
Работа и мощность. Коэффициент полезного действия

Смотрите также решения задач по теме «Работа и мощность» в онлайн решебнике Мещерского .

В этой главе рассмотрены задачи на определение работы, совершаемой постоянной силой, и развиваемой мощности при поступательном и вращательном движении тел (Е. М. Никитин , § 81-87).

§ 44. Работа и мощность при поступательном движении

Работа постоянной силы P на прямолинейном участке пути s, пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле
(1) A = Ps cos α,
где α - угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

При α = 90°
cos α = cos 90° = 0 и A = 0,
т. е. работа силы, действующей перпендикулярно к направлению перемещения, равна нулю.

Если направление действия силы совпадает с направлением перемещения, то α = 0, поэтому cos α = cos 0 = 1 и формула (1) упрощается:
(1") A = Ps.

На точку или на тело обычно действует не одна сила, а несколько, поэтому при решении задач целесообразно использовать теорему о работе равнодействующей системы сил (Е. М. Никитин , § 83):
(2) A R = ∑ A i ,
т. е. работа равнодействующей какой-либо системы сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ всех сил этой системы на том же пути.

В частном случае, когда система сил уравновешена (тело движется равномерно и прямолинейно), равнодействующая системы сил равна нулю и, следовательно, A R =0. Поэтому при равномерном и прямолинейном движении точки или тела уравнение (2) принимает вид
(2") ∑ A i = 0,
т. е. алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил на некотором пути равна нулю.

При этом силы, работа которых положительна, называются движущими, а силы, работа которых отрицательна, называются силами сопротивления. Например, при движении тела вниз - сила тяжести - движущая сила и ее работа положительна, а при движении тела вверх его сила тяжести является силой сопротивления и работа силы тяжести при этом отрицательна.

При решении задач в случаях, когда неизвестна сила Р, работу которой нужно определить, можно рекомендовать два приема (метода).

1. При помощи сил, заданных в условии задачи, определить силу P, а затем по формуле (1) или (1") вычислить ее работу.

2. Не определяя непосредственно силы P, определить A p - работу требуемой силы при помощи формул (2) и (2"), выражающих теорему о работе равнодействующей.

Мощность, развиваемая при работе постоянной силы, определяется по формуле
(3) N = A/t или N = (Ps cos α)/t.

Если при определении работы силы Р скорость движения точки v=s/t остается постоянной, то
(3") N = Pv cos α.

Если же скорость движения точки изменяется, то s/t = v ср - средняя скорость и тогда формула (2") выпажает среднюю мощность
N ср = Pv ср cos α.

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) при совершении работы можно определить как отношение работ
(4) η = A пол /A,
где A пол - полезная работа; A - вся произведенная работа, или как отношение соответствующих мощностей:
(4") η = N пол /N.

Единицей работы в СИ служит 1 джоуль (Дж) = 1 Н * 1 м.

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт (Вт) = 1 Дж / 1 сек.

Популярной внесистемной единицей мощности является лошадиная сила (л. с.):
1000 Вт = 1,36 л. с. или 1 л. с. = 736 Вт.

Для перехода между ваттами и лошадиными силами следует пользоваться формулами
N (кВт) = 1,36 N (л. с.)
N (л. с.) = 0,736 N (кВт).

§ 45. Работа и мощность при вращательном движении

При вращательном движении тела движущим фактором является пара сил. Рассмотрим диск 1, могущий свободно вращаться вокруг оси 2 (рис. 259). Если к точке A на ободе диска приложить силу P (направим ее вдоль касательной к боковой поверхности диска; направленная таким образом сила называется окружным усилием), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила P, действуя на диск, прижимает его в точке O к оси (сила P давл на рис. 259, приложенная к оси 2) и возникает реакция оси (сила P ркц на рис. 259), приложенная так же, как и сила P, к диску. Так как все эти силы численно равны между собой и линии их действия параллельны, то силы P и P ркц образуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.

Как известно, вращающее действие пары сил измеряется ее моментом, но момент пары сил равен произведению модуля любой из сил на плечо пары, поэтому вращающий момент
M вр = M пары = M O P = P*OA.

Единицей момента пары сил, а также момента силы относительно точки или относительно оси является 1 Н*м (ньютон-метр) в СИ и 1 кГ*м (килограмм-сила-метр) в системе МКГСС. Но при этом не следует смешивать эти единицы с единицами работы (1 Н*м=1 Дж или 1 кГ*м), имеющими ту же размерность.

Работу при вращательном движении производят пары сил.

Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах:
(1) A = M вр φ.

Таким образом, чтобы получить единицу работы, например, 1 Дж=1 Н*м, необходимо единицу момента 1 Н*м умножить на 1 рад. Но так как радиан - безразмерная величина
[радиан] = [длина дуги/радиус] = [м/м] = ,
то
[Дж] = [Н*м] * = [Н*м].

Мощность при вращательном движении
(2) N = A/t = M вр φ/t.

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью, то, заменив в формуле (2) φ/t = ω, получим
(2") N = M вр ω.

Если мощность того или иного двигателя - величина постоянная, то
(3) M вр = N/ω,
т. е. вращающий момент двигателя обратно пропорционален угловой скорости его вала .

Это означает, что использование мощности двигателя при различных угловых скоростях позволяет изменять создаваемый им вращающий момент. Используя мощность двигателя при малой угловой скорости, можно получить большой вращающий момент.

Так как угловая скорость вращающейся части двигателя (ротора электродвигателя, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и т. п.) при его работе практически не изменяется, то между двигателем и рабочей машиной устанавливается какой-либо механизм (редуктор, коробка скоростей и т. п.), могущий передавать мощность двигателя при различных угловых скоростях.

Поэтому формула (3), выражающая зависимость вращающего момента от передаваемой мощности и угловой скорости, имеет очень важное значение.

Используя при решении задач эту зависимость, необходимо иметь в виду следующее. Формула (3) применяется для решения задач, если мощность N задана в ваттах, а угловая скорость ω - в рад/сек (размерность ), тогда вращающий момент M вр получится в Н*м.

Основные теоретические сведения

Механическая работа

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы . Работой, совершаемой постоянной силой F , называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла между векторами силы F и перемещения S :

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на перемещении 1 метр в направлении действия силы.

Если же сила изменяется с течением времени, то для нахождения работы строят график зависимости силы от перемещения и находят площадь фигуры под графиком – это и есть работа:

Примером силы, модуль которой зависит от координаты (перемещения), может служить сила упругости пружины, подчиняющаяся закону Гука (F упр = kx ).

Мощность

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью . Мощность P (иногда обозначают буквой N ) – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t , в течение которого совершена эта работа:

По этой формуле рассчитывается средняя мощность , т.е. мощность обобщенно характеризующая процесс. Итак, работу можно выражать и через мощность: A = Pt (если конечно известна мощность и время совершения работы). Единица мощности называется ватт (Вт) или 1 джоуль за 1 секунду. Если движение равномерное, то:

По этой формуле мы можем рассчитать мгновенную мощность (мощность в данный момент времени), если вместо скорости подставим в формулу значение мгновенной скорости. Как узнать, какую мощность считать? Если в задаче спрашивают мощность в момент времени или в какой-то точке пространства, то считается мгновенная. Если спрашивают про мощность за какой-то промежуток времени или участок пути, то ищите среднюю мощность.

КПД – коэффициент полезного действия , равен отношению полезной работы к затраченной, либо же полезной мощности к затраченной:

Какая работа полезная, а какая затраченная определяется из условия конкретной задачи путем логического рассуждения. К примеру, если подъемный кран совершает работу по подъему груза на некоторую высоту, то полезной будет работа по поднятию груза (так как именно ради нее создан кран), а затраченной – работа, совершенная электродвигателем крана.

Итак, полезная и затраченная мощность не имеют строгого определения, и находятся логическим рассуждением. В каждой задаче мы сами должны определить, что в этой задаче было целью совершения работы (полезная работа или мощность), а что было механизмом или способом совершения всей работы (затраченная мощность или работа).

В общем случае КПД показывает, как эффективно механизм преобразует один вид энергии в другой. Если мощность со временем изменяется, то работу находят как площадь фигуры под графиком зависимости мощности от времени:

Кинетическая энергия

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела (энергией движения) :

То есть если автомобиль массой 2000 кг движется со скоростью 10 м/с, то он обладает кинетической энергией равной Е к = 100 кДж и способен совершить работу в 100 кДж. Эта энергия может превратиться в тепловую (при торможении автомобиля нагревается резина колес, дорога и тормозные диски) или может быть потрачена на деформацию автомобиля и тела, с которым автомобиль столкнулся (при аварии). При вычислении кинетической энергии не имеет значения куда движется автомобиль, так как энергия, как и работа, величина скалярная.

Тело обладает энергией, если способно совершить работу. Например, движущееся тело обладает кинетической энергией, т.е. энергией движения, и способно совершать работу по деформации тел или придания ускорения телам, с которыми произойдёт столкновение.

Физический смысл кинетической энергии: для того чтобы покоящееся тело массой m стало двигаться со скоростью v необходимо совершить работу равную полученному значению кинетической энергии. Если тело массой m движется со скоростью v , то для его остановки необходимо совершить работу равную его первоначальной кинетической энергии. При торможении кинетическая энергия в основном (кроме случаев соударения, когда энергия идет на деформации) «забирается» силой трения.

Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела:

Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Применять данную теорему удобно в задачах на разгон и торможение тела.

Потенциальная энергия

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями (так называемые консервативные силы ). Работа таких сил на замкнутой траектории равна нулю. Таким свойством обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли рассчитывается по формуле:

Физический смысл потенциальной энергии тела: потенциальная энергия равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень (h – расстояние от центра тяжести тела до нулевого уровня). Если тело обладает потенциальной энергией, значит оно способно совершить работу при падении этого тела с высоты h до нулевого уровня. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

Часто в задачах на энергию приходится находить работу по поднятию (переворачиванию, доставанию из ямы) тела. Во всех этих случаях нужно рассматривать перемещение не самого тела, а только его центра тяжести.

Потенциальная энергия Ep зависит от выбора нулевого уровня, то есть от выбора начала координат оси OY. В каждой задаче нулевой уровень выбирается из соображения удобства. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Потенциальная энергия растянутой пружины рассчитывается по формуле:

где: k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Растяжение или сжатие х надо рассчитывать от недеформированного состояния тела.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией. Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x 1 , тогда при переходе в новое состояние с удлинением x 2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком (так как сила упругости всегда направлена против деформации тела):

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Работа силы трения зависит от пройденного пути (такой вид сил, чья работа зависит от траектории и пройденного пути называется: диссипативные силы ). Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

Коэффициент полезного действия

Коэффициент полезного действия (КПД) – характеристика эффективности системы (устройства, машины) в отношении преобразования или передачи энергии. Он определяется отношением полезно использованной энергии к суммарному количеству энергии, полученному системой (формула уже приведена выше).

КПД можно рассчитывать как через работу, так и через мощность. Полезная и затраченная работа (мощность) всегда определяются путем простых логических рассуждений.

В электрических двигателях КПД – отношение совершаемой (полезной) механической работы к электрической энергии, получаемой от источника. В тепловых двигателях – отношение полезной механической работы к затрачиваемому количеству теплоты. В электрических трансформаторах – отношение электромагнитной энергии, получаемой во вторичной обмотке, к энергии, потребляемой первичной обмоткой.

В силу своей общности понятие КПД позволяет сравнивать и оценивать с единой точки зрения такие различные системы, как атомные реакторы, электрические генераторы и двигатели, теплоэнергетические установки, полупроводниковые приборы, биологические объекты и т.д.

Из–за неизбежных потерь энергии на трение, на нагревание окружающих тел и т.п. КПД всегда меньше единицы. Соответственно этому КПД выражается в долях затрачиваемой энергии, то есть в виде правильной дроби или в процентах, и является безразмерной величиной. КПД характеризует как эффективно работает машина или механизм. КПД тепловых электростанций достигает 35–40%, двигателей внутреннего сгорания с наддувом и предварительным охлаждением – 40–50%, динамомашин и генераторов большой мощности – 95%, трансформаторов – 98%.

Задачу, в которой нужно найти КПД или он известен, надо начать с логического рассуждения – какая работа является полезной, а какая затраченной.

Закон сохранения механической энергии

Полной механической энергией называется сумма кинетической энергии (т.е. энергии движения) и потенциальной (т.е. энергии взаимодействия тел силами тяготения и упругости):

Если механическая энергия не переходит в другие формы, например, во внутреннюю (тепловую) энергию, то сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся неизменной. Если же механическая энергия переходит в тепловую, то изменение механической энергии равно работе силы трения или потерям энергии, или количеству выделившегося тепла и так далее, другими словами изменение полной механической энергии равно работе внешних сил:

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему (т.е. такую в которой не действует внешних сил, и их работа соответственно равна нолю) и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной:

Это утверждение выражает закон сохранения энергии (ЗСЭ) в механических процессах . Он является следствием законов Ньютона. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой силами упругости и тяготения. Во всех задачах на закон сохранения энергии всегда будет как минимум два состояния системы тел. Закон гласит, что суммарная энергия первого состояния будет равна суммарной энергии второго состояния.

Алгоритм решения задач на закон сохранения энергии:

1. Найти точки начального и конечного положения тела.
2. Записать какой или какими энергиями обладает тело в данных точках.
3. Приравнять начальную и конечную энергию тела.
4. Добавить другие необходимые уравнения из предыдущих тем по физике.
5. Решить полученное уравнение или систему уравнений математическими методами.

Важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими силами действуют силы трения или силы сопротивления среды. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание). Таким образом энергия в целом (т.е. не только механическая) в любом случае сохраняется.

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую. Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии.

Разные задачи на работу

Если в задаче требуется найти механическую работу, то сначала выберите способ её нахождения:

1. Работу можно найти по формуле: A = FS ∙cosα . Найдите силу, совершающую работу, и величину перемещения тела под действием этой силы в выбранной системе отсчёта. Обратите внимание, что угол должен быть выбран между векторами силы и перемещения.
2. Работу внешней силы можно найти, как разность механической энергии в конечной и начальной ситуациях. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела.
3. Работу по подъёму тела с постоянной скоростью можно найти по формуле: A = mgh , где h – высота, на которую поднимается центр тяжести тела .
4. Работу можно найти как произведение мощности на время, т.е. по формуле: A = Pt .
5. Работу можно найти, как площадь фигуры под графиком зависимости силы от перемещения или мощности от времени.

Закон сохранения энергии и динамика вращательного движения

Задачи этой темы являются достаточно сложными математически, но при знании подхода решаются по совершенно стандартному алгоритму. Во всех задачах Вам придется рассматривать вращение тела в вертикальной плоскости. Решение будет сводиться к следующей последовательности действий:

1. Надо определить интересующую Вас точку (ту точку, в которой необходимо определить скорость тела, силу натяжения нити, вес и так далее).
2. Записать в этой точке второй закон Ньютона, учитывая, что тело вращается, то есть у него есть центростремительное ускорение.
3. Записать закон сохранения механической энергии так, чтобы в нем присутствовала скорость тела в той самой интересной точке, а также характеристики состояния тела в каком-нибудь состоянии про которое что-то известно.
4. В зависимости от условия выразить скорость в квадрате из одного уравнения и подставить в другое.
5. Провести остальные необходимые математические операции для получения окончательного результата.

При решении задач надо помнить, что:

• Условие прохождения верхней точки при вращении на нити с минимальной скоростью – сила реакции опоры N в верхней точке равна 0. Такое же условие выполняется при прохождении верхней точки мертвой петли.
• При вращении на стержне условие прохождения всей окружности: минимальная скорость в верхней точке равна 0.
• Условие отрыва тела от поверхности сферы – сила реакции опоры в точке отрыва равна нулю.

Неупругие соударения

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц). В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары .

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание). Для описания любых ударов Вам нужно записать и закон сохранения импульса, и закон сохранения механической энергии с учетом выделяющейся теплоты (предварительно крайне желательно сделать рисунок).

Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара. При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии. Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя.

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров. Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения. Центральный удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров. В этом случае векторы скоростей шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу.

Законы сохранения. Сложные задачи

Несколько тел

В некоторых задачах на закон сохранения энергии тросы с помощью которых перемещаются некие объекты могут иметь массу (т.е. не быть невесомыми, как Вы могли уже привыкнуть). В этом случае работу по перемещению таких тросов (а именно их центров тяжести) также нужно учитывать.

Если два тела, соединённые невесомым стержнем, вращаются в вертикальной плоскости, то:

1. выбирают нулевой уровень для расчёта потенциальной энергии, например на уровне оси вращения или на уровне самой нижней точки нахождения одного из грузов и обязательно делают чертёж;
2. записывают закон сохранения механической энергии, в котором в левой части записывают сумму кинетической и потенциальной энергии обоих тел в начальной ситуации, а в правой части записывают сумму кинетической и потенциальной энергии обоих тел в конечной ситуации;
3. учитывают, что угловые скорости тел одинаковы, тогда линейные скорости тел пропорциональны радиусам вращения;
4. при необходимости записывают второй закон Ньютона для каждого из тел в отдельности.

Разрыв снаряда

В случае разрыва снаряда выделяется энергия взрывчатых веществ. Чтобы найти эту энергию надо от суммы механических энергий осколков после взрыва отнять механическую энергию снаряда до взрыва. Также будем использовать закон сохранения импульса, записанный, в виде теоремы косинусов (векторный метод) или в виде проекций на выбранные оси.

Столкновения с тяжёлой плитой

Пусть навстречу тяжёлой плите, которая движется со скоростью v , движется лёгкий шарик массой m со скоростью u н. Так как импульс шарика много меньше импульса плиты, то после удара скорость плиты не изменится, и она будет продолжать движение с той же скоростью и в том же направлении. В результате упругого удара, шарик отлетит от плиты. Здесь важно понять, что не поменяется скорость шарика относительно плиты . В таком случае, для конечной скорости шарика получим:

Таким образом, скорость шарика после удара увеличивается на удвоенную скорость стены. Аналогичное рассуждение для случая, когда до удара шарик и плита двигались в одном направлении, приводит к результату согласно которому скорость шарика уменьшается на удвоенную скорость стены:

По физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.