В чем состоит гидростатический парадокс? Новая мысль Опыты паскаля с давлением.

По указанию Паскаля, крепкую дубовую бочку до краев наполнили водой и наглухо закрыли крышкой.
В небольшое отверстие в крышке заделали конец вертикальной стеклянной трубки такой длины, что конец ее оказался на уровне второго этажа.

Выйдя на балкон, Паскаль принялся наполнять трубку водой.
Не успел он вылить и десятка стаканов, как вдруг, к изумлению обступивших бочку зевак, бочка с треском лопнула.
Ее разорвала непонятная сила.
Паскаль убеждается: да, сила, разорвавшая бочку, вовсе не зависит от количества воды в трубке.
Все дело в высоте, до которой трубка была заполнена.

Так он приходит к открытию закона, получившего его имя.

Задача

Если принять высоту воды в трубке 4 метра (балкон второго этажа),
диаметр бочки 0,8 м, и высоту бочки 0,8 м.
Какая сила разрывает бочку?

Решение:

На поверхности воды в бочке под крышкой это давление
P = pgh,
где p - плотность воды,
g - ускорение свободного падения,
h - высота столба воды в трубке.
Помножив полученное давление на площадь диаметрального сечения бочки
(S = D*H, Н - высота бочки),
получим силу, которая разломала прочные дубовые стенки бочки.

P = pg (h + H/2)DH = 27,6 кН.

1 Площадь поверхности пропорциональна квадрату линейных размеров тела, а объем - кубу. Поэтому у призмы малых размеров силой тяжести, пропорциональной объему, всегда можно пренебречь по сравнению с силой давления, пропорциональной площади поверхности.
На рисунке 9.23, б изображено поперечное сечение призмы. На боковые грани призмы действуют силы Flt F2, F3. Силы давления на основания призмы не учитываем, так как они уравновешены. Тогда согласно условию равновесия
Fi + F2 + F3 = о.
Векторы этих сил образуют треугольник, подобный треугольнику АОВ, так как углы в этих двух треугольниках соответственно равны (рис. 9.23, в). Из подобия треугольников следует, что
?i = = ї±
OA OB АВ"
Умножим знаменатели этих дробей соответственно на OD, ВС и КА (OD = ВС = КА):
F1 F2 F3
OA OD OB ВС АВ КА"
Из рисунка 9.23, а видно, что знаменатель каждой дроби равен площади соответствующей боковой грани призмы. Обозна-чив площади этих граней призмы через S2, S3, получим:
F±==F_2=F3 S2 «3
или
Рі=Рг=Рз- (9.6.1)
Итак, давление в неподвижной жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки внутри жидкости.
Согласно же формуле (9.5.3) давление одинаково во всех точках, лежащих на данном уровне. Это давление на нижележащие слои жидкости создается столбом жидкости высотой h. Поэтому можно заключить, что давление верхних слоев жидкости на слои жидкости, расположенные под ними, передается нижележащими слоями одинаково по всем направлениям.
Но давление на жидкость можно произвести внешними силами, например с помощью поршня. Учитывая это, мы приходим к закону Паскаля: давление, производимое внешними силами на покоящуюся жидкость, передается жидкостью во все стороны одинаково.
В этой формулировке закон Паскаля остается верным и для общего случая, т. е. для случая, когда мы учитываем силу тяжести. Если сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости давление, зависящее от глубины погружения, то приложен-

ные внешние (поверхностные) силы увеличивают давление в каждой точке жидкости на одну и ту же величину.
Рис. 9.24
Закон Паскаля можно подтвердить экспериментально. Если, например, наполнить водой металлический шар, в котором проделано несколько отверстий, и затем сжать воду поршнем, то одинаковые струи воды брызнут из всех отверстий (рис. 9.24, а). Закон Паскаля справедлив также и для газов (рис. 9.24, б). Гидростатический парадокс
Возьмем три сосуда различной формы (рис. 9.25). В сосуд А налита вода весом З Н, в сосуд В - весом 2 Н, а в сосуд С - весом 1 Н. Уровень воды во всех трех сосудах оказался на высоте 0,1 м. Площадь дна у каждого сосуда равна 20 см2 = 0,002 м2. Применяя формулу р = рgh, мы найдем, что давление на дно каждого сосуда равно 1000 Па. Зная давление, мы по формуле F = pS найдем, что сила давления на дно сосуда во всех трех случаях равна 2 Н. Не может быть, скажете вы. Как может вода весом 1 Н в третьем сосуде создавать силу давления на дно в 2 Н? Это положение, которое кажется противоречащим здравому смыслу, известно под названием «гидростатического парадокса», или «парадоксаПаскаля».

Пытаясь разрешить загадку гидростатического парадокса, Паскаль ставил сосуды, подобные показанным на рисунке 9.25, на специальные весы, позволяющие измерить силу давления на дно каждого сосуда (рис. 9.26, а, б, в). Дно сосуда, стоящее на весах, не было жестко связано с сосудом, а сам сосуд за-креплялся неподвижно на особой подставке. Показания весов подтвердили расчеты. Таким образом, вопреки здравому смыслу сила давления на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а зависит лишь от высоты столба жидкости, ее плотности и площади дна.
Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно при помощи очень неболь-шого количества жидкости со- 300 см3
100 см3

в)
10 см
шшшшшшш,
а)
200 см3
10 см
ъшшшяшШЯШ, б)
Рис. 9.26 здать очень большие силы давления на дно. Паскаль прикрепил к плотно закупоренной бочке трубку площадью сечения 1 см и налил в нее воды до высоты 4 м (вес воды в трубке Р = mg = 4 Н). Возникшие силы давления разорвали бочку (рис. 9.27). Приняв площадь дна бочки равной 7500 см2, получим силу давления на дно в 30 000 Н, и эта огромная сила вызвана всего одной кружкой воды (400 см3), налитой в трубку.

Как же объяснить парадокс Паскаля? Сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости давление, которое, согласно закону Паскаля, передается и на дно, и на стенки сосуда. Если жидкость давит на дно и стенки сосуда, то и стенки сосуда производят давление на жидкость (третий закон Ньютона).
Если стенки сосуда вертикальные (рис. 9.28, а), то силы давления стенок сосуда на жидкость направлены горизонтально. Следовательно, вертикальной составляющей эти силы не имеют. Поэтому сила дав-ления жидкости на дно сосуда равна в этом случае весу жидкости в сосуде. Если же сосуд кверху расширяется (рис. 9.28, б) или сужается (рис. 9.28, в), то сила давления стенок сосуда на жидкость имеет вертикальную составляющую, направленную в первом случае вверх, а во втором - вниз. Поэтому в расширяющемся кверху сосуде сила давления на дно равна разности веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления Рис. 9.27 стенок. Следовательно, сила давления на

Рис. 9.28
дно в этом случае меньше веса жидкости. В сужающемся кверху сосуде, наоборот, сила давления на дно равна сумме веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок на жидкость. Теперь сила давления на дно больше веса жидкости.
Разумеется, если поставить на чашки весов различные сосуды без отделяющегося дна и не закрепленные на подставках, то показания весов будут различными (2 Н, З Н и 1 Н, если массой сосудов можно пренебречь). В этом случае к силе давления жидкости на дно в расширяющемся сосуде будет добавляться вертикальная составляющая сил давления жидкости на боковую поверхность. В сужающемся сосуде соответствующая составляющая сил давления будет вычитаться из силы давления на дно.
Гидравлический пресс
Закон Паскаля позволяет объяснить действие распространенного в технике устройства - гидравлического пресса.
Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разного диаметра, снабженных поршнями и соединенных трубкой (рис. 9.29). Пространство под поршнями и трубка заполняются жидкостью (минеральным маслом). Обозначим площадь первого поршня через S1, а второго - через S2. Приложим ко второму поршню силу F2. Найдем, какую силу F2 необходимо приложить к первому поршню, чтобы сохранить равновесие.
Согласно закону Паскаля давление во всех точках жидкости должно быть одним и тем же (действием силы тяжести на жидкость пренебрегаем). Но давление под первым поршнем равно
Fi
-х- , а под вторым.
шшшшшшшшш,: Рис. 9.29 Следовательно,

шшшшшшшшш, Рис. 9.30
і 2
2s:
і
(9.6.2)
F^F,
Отсюда Модуль силы Fy во столько же раз больше модуля силы F2, во сколько раз площадь первого поршня больше площади второго. Таким образом, при помощи гидравлического пресса можно посредством малой силы, приложенной к поршню небольшого сечения, получить огромные силы, действующие на поршень большого сечения. Принцип гидравлического пресса используется в гидравлических домкратах для подъема тяжелых грузов.
Благодаря закону Паскаля возможны парадоксальные ситуации, когда кружка воды, добавленная в бочку, приводит к ее разрыву. Тот же закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических прессов.
Сосуд с водой установлен на ребре доски (рис. 9.30). Нарушится ли равновесие, если на поверхность воды положить дощечку и на нее поставить гирьку так, что дощечка с гирькой будут плавать на поверхности воды не в середине сосуда?

Гидростатический парадокс

заключается в том, что вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемой ею на дно сосуда. Так, в расширяющихся кверху сосудах (рис. ) сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся - больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы.

Если одна и та же жидкость налита до одной и той же высоты в сосуды разной формы, но с одинаковой площадью дна, то, несмотря на различный вес налитой жидкости, сила давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде. Это следует из того, что давление покоящейся жидкости зависит только от глубины под свободной поверхностью и от плотности жидкости. Объясняется Г. п. тем, что поскольку гидростатическое давление р всегда нормально к стенкам сосуда, сила давления на наклонные стенки имеет вертикальную составляющую p 1 , которая компенсирует вес излишнего против цилиндра 1 объёма жидкости в сосуде 3 и вес недостающего против цилиндра 1 объёма жидкости в сосуде 2 . Г. п. обнаружен французским физиком Б. Паскалем (См. Паскаль).

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Гидростатический парадокс" в других словарях:

Вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемой ею на дно сосуда. Так, в расширяющихся кверху сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы.… … Большой Энциклопедический словарь

Заключается в том, что вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемой ею на дно сосуда. Так, в расширяющихся кверху сосудах (рис.) сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся больше. В цилиндрич.… … Физическая энциклопедия

Гидростатический парадокс явление, при котором вес налитой в сосуд жидкости может отличаться от силы давления на дно. Причины Схема опыта Паскаля Причина гидростатического парадокса состоит в том, что жидкость дав … Википедия

Физич. закон, в силу которого давление на дно в сосудах различной формы, но с одинаковой величины дном, наполнен. одною и тою же жидкостью до одинаковой высоты, одинаково, не смотря на разницу в количестве жидкости. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка

Вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления жидкости на дно сосуда. Так, в расширяющихся кверху сосудах (рис.) сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы.… … Энциклопедический словарь

Вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления жидкости на дно сосуда. Так, в расширяющихся кверху сосудах (рис.) сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся больше. В цилиндрич. сосуде обе силы одинаковы.… … Естествознание. Энциклопедический словарь - (закон Паскаля) формулируется так Давление, оказываемое на жидкость(или газ) в каком либо одном месте на ее границе, например, поршнем, передается без изменения во все точки жидкости(или газа). Закон назван в честь французского учёного Блеза… … Википедия

Рассмотрим три сосуда разной формы, заполненные жидкостью до одного уровня h c . Все сосуды такие, что имеют одинаковую площадь дна.

В соответствии с общей формулой определения силы, действующей на плоскую поверхность

,

можно вычислить силу, действующую на дно сосуда. Для всех трёх сосудов эти силы окажутся одинаковыми и независящими от веса жидкости в сосуде. Но на опору все сосуды будут действовать с разными силами, равными весу сосудов с жидкостью. Этот факт получил название гидростатического парадокса .

Основы теории плавания тел

Будем считать, что в жидкость плотностью ρ погружено тело объёмом V . Выберем систему координат, ось Z которой направим вниз, а оси X и Y вдоль свободной поверхности. Рассмотрим усилия, действующие на тело со стороны жидкости. Все горизонтальные составляющие, как было установлено выше, будут уравновешиваться. Для определения вертикальных составляющих выделим в твёрдом теле элементарный цилиндрический объём с площадью поперечного сечения dS . На торцевые поверхности этого объёма действуют силы dF 1 сверху и dF 2 снизу.

dF 1 будет:

Вертикальная составляющая силы dF 2 будет:

Проинтегрировав это выражение по площади горизонтальной проекции тела, получим:

Это выражение называется законом Архимеда : погруженное в жидкость тело теряет в своём весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Другими словами на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости. Эта сила приложена в точке, которая называется точкой водоизмещения.

В зависимости от отношения веса и выталкивающей силы возможны три состояния тела:

если вес больше выталкивающей силы – тело тонет,

если вес меньше выталкивающей силы – тело всплывает,

если вес равен выталкивающей силе – тело плавает.

Она направлена вертикально вверх и приложена в точке, соответствующей центру давления называемому - центром водоизмещения, количество воды, вытесненной плавающим телом, - водоизмещением.

Рис Плавучесть тела а и 6 - cудно остойчиво

На рисунке показана схема корпуса судна со следующи­ми обозначениями: а-а-плоскость плавания, ограниченная ватерлинией, как контуром; о-о - ось плавания-ось, нормаль­ная к плоскости плавания и проходящая через центр тяжести тела С.

На оси плавания расположены три центра: центр тяжести С, центр водоизмещения D и метацентр М (точка пересечения оси плавания с линией действия архимедовой силы).

Расстояние от метацентра до центра тяжести тела называют метацентрической высотой h м . Приняв за плоскость сравнения – плоскость плавания охарактеризуем остойчивость.

При h м > 0 положение тела будет остойчивым, при h м < 0 - неостойчивым, а при h м =0 тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

Плавучесть и остойчивость - ключевые понятия теории плава­ния тел. Плавучесть - это состояние равновесия твердого тела, частично или полностью погру­женного в жидкость. Остойчи­вость - способность плаваю­щего тела, выведенного из рав­новесия, восстанавливать исходное положение после прекращения действия сил, вызывающих крен. Крен - положение тела, при котором вертикальная плоскость его симметрии отклонена от вертикали к земной поверхности.

Между соотношениями веса плавающего тела G и его вытал­кивающей силой Рв возможны три состояния тела, погруженного в жидкость.

Если G > Рв, то тело тонет, так как равнодействую­щая сил G и Рв направлена вертикально вниз.

Если G < Рв, тело плавает в полупогруженном состоянии (надводное плавание), и при этом равнодейст­вующая сил G и Рв направлена вертикально вверх, поэтому тело всплывает, пока новая уменьшенная выталкивающая сила Рв не будет равна весу тела G (G = Pv ).

Тело плавает в погруженном состоянии в случае G = P в, оно может находиться в устойчивом или неустойчивом равновесии. Чтобы тело находилось в равно­весии, необходимо, чтобы его центр тяжести и центр водоизме­щения лежали на одной вертикали.

В случае воздействия на плавающее тело внешних сил (ветра, крутого поворота) оно будет отклоняться от положения равнове­сия (давать крен). При остойчивом плавании тела центр тяжести расположен ниже центра водоизмещения, а после прекращения взаимодействия этих сил тело возвращается в прежнее положе­ние. При неостойчивом плавании центр тяжести тела располо­жен выше центра водоизмещения, В этом случае тело выведено из состояния равновесия и не может возвратиться в первона­чальное положение. Состояние безразличного равновесия харак­теризуется совпадением центров тяжести и водоизмещения.

Плавучесть тела выражается формулой

где G вес воды;  в - удельный вес воды; V - объем вытесненной телом воды.

Гидростатический парадокс - свойство жидкостей, заключающееся в том, что сила тяжести жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы, с которой эта жидкость действует на дно сосуда. Причина гидростатического парадокса состоит в том, что жидкость давит не только на дно, но и на стенки сосуда. Вес жидкости в сосуде будет равен сумме высотных составляющих напора по всей внутренней площади сосуда. Если, к примеру, сосуд имеет участки внутренней поверхности, давление на которые направлено вверх, эти участки внесут вклад в вес со знаком минус. Статическое давление жидкости на дно окажется больше, чем вес жидкости, отнесённый к площади дна.

В 1648 г. парадокс продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа, влил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Виды движения (течения) жидкости. Основные понятия траектория, линия тока, трубка тока, элементарная струйка.

Линия тока – такая кривая линия, для любой точки которой в выбранный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной (о нормальной составляющей скорости речь не идет, поскольку она равна нулю).

Линия тока - это элементарная струйка потока, площадь попе­речного сечения которой бесконечно мала.

Совокупность всех линий тока, которые проходят через каждую точку контура потока, образует поверхность, которую называют трубкой тока. Внутри этой трубки движется заключенная в ней жидкость, которую называют струйкой.

Струйка считается элементарной, если рассматриваемый контур бесконечно мал, и конечной, если контур имеет конечную площадку.

Сечение струйки, которое нормально в каждой своей точке к линиям тока, называется живым сечением струйки. В зависимости от конечности или бесконечной малости, площадь струйки принято обозначать, соответственно, ω и dω.

Некоторый объем жидкости, который проходит через живое сечение в единицу времени, называют расходом струйки Q.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени.

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Неустановившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. u и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.:

и .

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

Установившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. u и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения:

и ,

и, следовательно, , , , .

Пример установившегося движения - вытекание жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остаётся постоянным) по мере вытекания жидкости.

16. Типы потоков жидкости, характеристики потоков: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход, средняя скорость.

Совокупность элементарных струек жидкости представляет собой поток жидкости. Различают следующие типы потоков (или типы движений жидкости):

Напорные потоки (напорные движения) - это такие, когда поток ограничен твердыми стенками со всех сторон, при этом в любой точке потока давление отличается от атмосферного обычно в большую сторону, но может быть и меньше атмосферного. Движение в этом случае происходит за счёт напора, создаваемого, например, насосом или водонапорной башней. Давление вдоль напорного потока обычно переменное. Такое движение имеет место во всех гидроприводах технологического оборудования, водопроводах, отопительных системах и т.п.

Безнапорные потоки (безнапорные движения) отличаются тем, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением. Безнапорное движение происходит под действием сил тяжести самого потока жидкости. Давление в таких потоках примерно одинаково и отличается от атмосферного только за счет глубины потока. Примером такого движения может быть течение воды в реке, канале, ручье.

Свободная струя не имеет твёрдых стенок. Движение происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Пример свободной струи – вытекание жидкости из шланга, крана и т.п.

В гидравлике различают следующие характеристики потока: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход, средняя скорость.

Живым сечением потока называется поверхность (поперечное сечение), нормальная ко всем линиям тока, его пересекающим, и лежащая внутри потока жидкости. Площадь живого сечения обозначается буквой Й . Для элементарной струйки жидкости используют понятие живого сечения элементарной струйки (сечение струйки, перпендикулярное линиям тока), площадь которого обозначают через dЙ.

Смоченный периметр потока – линия, по которой жидкость соприкасается с поверхностями русла в данном живом сечении. Длина этой линии обозначается буквой c .

В напорных потоках смоченный периметр совпадает с геометрическим периметром, так как поток жидкости соприкасается со всеми твёрдыми стенками.

Гидравлическим радиусом R потока называется часто используемая в гидравлике величина, представляющая собой отношение площади живого сечения S к смоченному периметру c :

Расход потока жидкости (расход жидкости) – количество жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока.

Средняя скорость потока жидкости Vср в данном сечении это не существующая в действительности скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой должна была бы двигаться жидкость, что бы её расход был равен фактическому.